写在前面（博客按语，投稿时删除）
这篇东西的想法，来自我突然想到的一个类比：电机控制里的高频注入（High-Frequency Injection），本质上是一次主动式侧信道提取——往系统里打一个已知的高频信号，电流响应本来是「本职」驱动信号的副产物，但转子的位置就藏在这个副产物里。既然信息藏在残差里，那「预测—残差—校正」的观测器闭环就是解码器。
问题从「怎么从高频响应里抠位置」变成了一个更根本的问题：什么时候才需要打这个高频？传统做法是看转速表——低速开、高速关。我认为真正合理的做法是看信息是否充分：系统自己判断当前是不是看不清了（后验不确定性变大、某些方向长期没被观测照亮），才主动制造一场高频注入；看清楚了就闭眼省电。
最贴切的画面是一种危险驾驶行为：困了在高速上开车，闭目养神，时不时睁眼看一下路况。什么时候睁眼？不看时刻表，看困不困。当然，工程上还得回答「睁眼值不值」（注入有损耗和转矩脉动的代价）和「是不是眼睛坏了」（模型失配时注入救不了，得报警），这两点正是本文代价门控和三分支决策的来历。
这个观测器起名主动感知观测器（Active Perception Observer）。
名词速查（博客读者用，投稿时删除）：残差/新息 = 预测值与实测值之差；先验/后验 = 用观测修正之前/之后对状态的信念；协方差矩阵 P = 信念的「不确定度」，P 大 = 看不清；Fisher 信息矩阵 = 历史观测对每个方向的「照明强度」；凸极 = 直轴电感 Ld 与交轴电感 Lq 不相等；占空比 = 注入时间占比。
阅读指南：懂电机与估计理论的读者直接从第 I 节读起；只想看思想脉络的，读这段按语加附录 C；所有推导细节在正文和附录 A、B。
主动感知观测器：面向永磁同步电机无传感器驱动的不确定性触发高频注入联合状态—参数估计
作者：DR **单位： （略）
摘要
传统高频注入无传感器控制通常按转速阈值开关注入，属于开环策略：它既不区分当前不确定性来自「转子位置不可观测」还是「参数耦合导致残差不可解释」，也不权衡注入带来的损耗与转矩脉动。本文提出一种主动感知观测器（Active Perception Observer）。主动感知观测器在一个联合状态—参数贝叶斯后验中同时维护转子位置、转速、定子电阻、永磁磁链与电感的不确定性；利用带遗忘因子的累积 Fisher 信息矩阵监测各状态方向的可辨识性，仅当后验协方差与信息矩阵最小特征值构成的双判据同时满足时，触发一次对准缺失可辨识方向的受控高频注入；新息一致性检验进一步将「信息不足」与「模型失配」区分开，前者触发实验，后者触发告警。注入产生的响应不作为独立高频观测器的输出，而是作为额外观测行块进入同一次贝叶斯更新，从而在联合协方差中显式记录状态—参数耦合。本文给出注入前后信息增益的解析预测式与代价门控判据，说明连续注入收益二次衰减、注入行为自然稀疏，并给出覆盖温漂、退磁、负载突变等工况的仿真验证方案。最后讨论触发阈值整定、磁极极性管理与模型失配下的方法边界。
关键词： 永磁同步电机；无传感器控制；高频注入；主动感知；事件触发估计；联合状态—参数估计；可辨识性
I. 引言
A. 背景
高频注入是解决永磁同步电机零速与低速无传感器控制可观测性的经典手段 [1][2][3]。其物理图像是：向定子施加已知的微小高频激励，转子凸极与磁饱和使增量电感随位置周期变化，从而把转子位置「调制」到高频电流响应上，经带通滤波与同步解调即可解出位置。中高速段则由反电势/磁链类的基波模型观测器承担估计任务 [5][6]。
B. 现有做法及其隐含假设
现有工程实现大多把高频注入视为前置信号源：要么全程连续注入 [3]，要么按转速阈值开关。与卡尔曼滤波结合的工作（如注入式扩展卡尔曼滤波）把解调后的误差信号作为滤波器量测输入 [16]；联合估计状态与参数的主流方案是双扩展卡尔曼滤波的级联或交替更新 [7]。这类结构有两个隐含假设：
- 低速一定观测不足，高速一定观测充足——注入时机是转速的函数；
- 注入模式与当前不可辨识方向无关——注入只是「开」或「关」，不区分到底哪个方向看不清。
第一个假设在参数温漂、深度弱磁、大电流饱和等场景下不成立：高速同样可能出现某参数方向不可辨识；低速时也并非所有方向都不可观测。第二个假设则浪费了注入自由度：不同注入方式（脉振、旋转、低频脉冲、双极性脉冲）对不同参数方向的照明能力差异极大。
此外，双扩展卡尔曼滤波的级联架构通常切断状态滤波器与参数滤波器之间的互协方差，使「状态误差被误判为参数误差」这一耦合无法在协方差中显式记录 [7]——两个滤波器各自收敛到一个自洽但可能联合错误的解。
C. 本文出发点与贡献
本文的出发点是：是否注入、注入什么方向、注入多久，应由联合后验的不确定性结构决定，而不是由转速阈值或固定时序决定。 换言之，高频注入从「预设信号源」升格为「受控实验」，观测不是给定的，而是被制造的。这与主动感知 [12]、对偶控制 [13] 中的主动探测思想一脉相承；与电机领域事件触发估计 [14] 的区别在于：后者的触发目标是降低计算/通信量，本文的触发目标是信息增益。
本文贡献有三：
- 触发逻辑：注入触发不是转速的函数，而是联合后验协方差与累积信息矩阵最小特征值的函数；并以新息一致性检验构成三分支决策（继续估计 / 触发注入 / 模型告警），区分「信息不足」与「模型失配」。
- 信息融合：注入响应不另起观测器，而作为额外观测行块进入同一次贝叶斯更新；状态—参数耦合被联合协方差的非对角块诚实记录，不置零、不回避。
- 注入角色与代价：给出注入实验的观测方程及其对准缺失方向的设计原则；导出注入前可计算的信息增益解析预测式与代价门控判据，说明连续注入收益二次衰减，注入行为天然稀疏。
从在线学习的视角，可以把 主动感知观测器的定位说得更准确。其估计层目标是流式观测下的最小均方误差估计——线性高斯近似下即最小化联合后验协方差的迹——并以新息一致性（第 III-D 节）要求协方差诚实匹配真实误差统计，防止以「虚假自信」换取形式上的低协方差；其动作层目标是在注入代价约束下最大化协方差缩减，即单位代价的信息增益（第 IV-D 节）。假设空间为快变状态与慢变参数的联合空间，由完整联合协方差参数化，不假设状态—参数独立。泛化边界同样应显式陈述：主动感知观测器处理的是跨工况与跨时间的在线适应，而非跨电机型号的离线泛化——后者须依赖离线参数辨识（磁饱和数据表、参数档案）提供的先验；对未见工况，主动感知观测器不承诺先验式泛化，而是监测泛化失效（协方差膨胀、新息失配）并以受控实验在线恢复可辨识性。在此框架下，高频注入不是预设信号源，而是当后验不确定性表明当前观测不足时，对准最弱可辨识方向、主动采集高信息量样本的实验设计动作。
记号约定与替换表
本文正文公式直接以与正文一致的全称汉语书写（《新数学语言倡议》规则一），乘号显式写出；代数演算段与附录按规则二使用下表短符号，作用域限于相应推导，结论已回译为全称。任何符号不跨节重载。
| 短符号 | 全称 | 说明 |
|---|---|---|
| θ, ω | 转子角度, 角速度 | 附录与演算段使用；k 为离散时间下标 |
| Δt | 采样周期 | 一个控制周期 |
| Rs, ψf | 定子电阻, 永磁磁链 | 慢变参数 |
| Ld, Lq, L̄, ΔL | 直轴电感, 交轴电感, 平均电感, 半凸极差 | ΔL=(Ld−Lq)/2 |
| Linc | 增量电感 | 工作点小信号电感 |
| u, i, eemf | 电压向量, 电流向量, 反电势向量 | 静止 αβ 系；下标 h 表示高频分量 |
| Uh, ωh | 注入电压幅值, 注入角频率 | 高频激励 |
| T(θ) | 坐标旋转矩阵 | 转子系 ↔ 静止系 |
| gr, g | 旋转注入解调增益, 脉振误差信号灵敏度 | 式 (6), 式 (8) |
| εp, ε | 解调位置相量, 解调误差信号 | 式 (6), 式 (8) |
| x, φ | 联合状态向量, 参数向量 | φ=[Rs, ψf, Ld, Lq]ᵀ |
| F, Q | 状态转移矩阵, 过程噪声协方差 | 式 (11) |
| P, K, rk | 联合协方差, 卡尔曼增益, 残差（新息） | 扩展卡尔曼滤波量 |
| Hb, Rb, S, η | 基波观测雅可比, 基波量测噪声协方差, 新息协方差, 新息检验统计量 | 式 (16), (18) |
| I, γ | 累积信息矩阵, 遗忘因子 | 式 (20) |
| V, Λ | 特征向量矩阵, 特征值矩阵 | I 的特征分解 |
| εP, εI, ρ, Cinj | 协方差门限, 信息门限, 代价门限, 注入代价 | 触发与门控 |
| h, σ² | 注入观测行向量, 标量噪声方差 | 式 (24), (25), 附录 B |
| J | 批量信息矩阵 | 式 (19) 中间量 |
II. 高频注入的信号模型
本节从增量电感出发，推导高频响应电流中位置信息的来源、解调误差信号的形式，以及磁极极性的饱和不对称机制。这些推导同时给出第 IV 节注入实验的观测方程。
A. 增量电感与二倍角调制
转子坐标系下永磁同步电机定子电压方程为
\[\text{定子电压}=\text{定子电阻}\times\text{定子电流}+\frac{d\,\text{磁链}}{dt}+\text{电角速度}\times\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\times\text{磁链} \tag{1}\]其中磁链由「直轴电感 × 直轴电流 + 永磁磁链」与「交轴电感 × 交轴电流」构成。注入信号幅值小、频率高（典型为基波频率的几十倍），在该频段做小信号分析时，电阻项与随基波频率变化的反电势项均可忽略，电压方程退化为
\[\text{注入电压} \approx \text{增量电感矩阵}\times\frac{d\,\text{高频电流}}{dt} \tag{2}\]其中各轴的增量电感定义为磁链对该轴电流的偏导数。关键在于：增量电感不是常数——凸极使其随转子位置变化，磁饱和使其随电流工作点变化。变换到静止 αβ 坐标系，记平均电感（两轴增量电感之均值）与半凸极差（两轴增量电感之差的一半），得
\[\text{电感矩阵}\big(\text{转子角度}\big)=\text{平均电感}\times\text{单位阵}+\text{半凸极差}\times\begin{bmatrix}\cos\big(2\times\text{转子角度}\big) & \sin\big(2\times\text{转子角度}\big)\\ \sin\big(2\times\text{转子角度}\big) & -\cos\big(2\times\text{转子角度}\big)\end{bmatrix} \tag{3}\]即电感矩阵以二倍转子角度为周期变化——这就是「电流响应可以编码转子位置」的全部物理内容。
B. 旋转注入的响应与解调
对式 (3) 的矩阵求逆后注入旋转电压即可解出高频电流。此段为纯代数演算，按《新数学语言倡议》规则二引入临时短符号：令 电感矩阵记作 L，电流复数记作 i，平均电感记作 L̄，半凸极差记作 ΔL，注入电压幅值记作 U，注入角频率记作 ω，转子角度暂记作 θ（仅限本小节，结论在式 (6) 回译为全称）。矩阵求逆为
\[L^{-1}i \leftrightarrow \frac{\bar L\, i-\Delta L\, e^{j\times 2\theta}\,\overline{i}}{\bar L^2-\Delta L^2} \tag{4}\]注入旋转电压相量。由于注入角频率远高于电角速度，一个高频周期内转子角度近似不变，对高频电流方程积分得稳态响应
\[i(t)=\frac{U}{j\omega(\bar L^2-\Delta L^2)}\Big(\bar L\, e^{j\omega t}+\Delta L\, e^{j\times 2\theta}\, e^{-j\omega t}\Big) \tag{5}\]响应由两个序列构成：正序分量幅值正比于 注入电压幅值 ÷ (注入角频率 × 平均电感)，只含平均电感信息；负序分量幅值正比于 注入电压幅值 × 半凸极差 ÷ (注入角频率 × 直轴增量电感 × 交轴增量电感)（注意 平均电感的平方减半凸极差的平方，恰等于两轴增量电感之积），相位含二倍转子角度。用与注入同频的复指数同步解调并低通滤波，正序被搬到二倍注入频率处滤除，负序被搬到直流：
\[\text{解调位置相量}=\text{低通}\!\big\{\text{高频电流}\times e^{\,j\times\text{注入角频率}\times t}\big\} =\text{解调增益}\times e^{\,j\times 2\times\text{转子角度}},\qquad \text{解调增益}=\frac{\text{注入电压幅值}\times\text{半凸极差}}{\text{注入角频率}\times\text{直轴增量电感}\times\text{交轴增量电感}}\times e^{-j\pi/2} \tag{6}\]即解调相量的辐角直接给出二倍转子角度。相对估计角度归一化，得标量误差信号 = sin(2 × 角度误差) ≈ 2 × 角度误差（小误差时），供锁相环或观测器压零。
C. 脉振注入的误差信号
脉振注入在估计直轴上注入余弦电压。把式 (3) 旋转到估计坐标系（真实轴与估计轴的夹角记为角度误差），求逆后取估计交轴分量，得高频电流
\[\text{估计交轴高频电流}(t)=-\frac{\text{注入电压幅值}\times\text{半凸极差}\times\sin\big(2\times\text{角度误差}\big)}{\text{注入角频率}\times\text{直轴增量电感}\times\text{交轴增量电感}}\times\sin\big(\text{注入角频率}\times t\big) \tag{7}\]将估计交轴高频电流与响应同相的正弦参考相乘后低通，得误差信号
\[\text{解调误差信号}=-\frac{\text{注入电压幅值}\times\text{半凸极差}}{2\times\text{注入角频率}\times\text{直轴增量电感}\times\text{交轴增量电感}}\times\sin\big(2\times\text{角度误差}\big) \;\approx\; -\text{误差灵敏度}\times\text{角度误差} \tag{8}\]误差灵敏度由注入幅值、注入频率与电机凸极共同决定（= 注入电压幅值 × 半凸极差 ÷ (注入角频率 × 直轴增量电感 × 交轴增量电感)）——这就是第 IV 节注入实验观测方程的增益来源。
D. 磁极极性：饱和不对称
凸极响应对转子角度与转子角度加 π 不敏感（式 (6)(8) 均只含二倍角），存在固有的 π 歧义。消歧依赖磁饱和不对称：直轴正方向与永磁磁链同向，磁路更饱和，增量电感更小。在估计直轴上分别注入正、负极性电流脉冲并比较响应幅值，即可判定估计直轴与真实 N 极同向还是反向，解决 π 歧义。本文将这一极性实验作为主动感知观测器受控实验菜单的一员（第 IV-C 节），在后验的极性置信度下降时触发。
对表贴式电机（直轴电感 ≈ 交轴电感），半凸极差仅来自饱和效应，信号微弱、信噪比差，代价门控会自然降低该类实验的优先级——这是本方法诚实的适用边界（第 VIII 节）。
III. 联合状态—参数估计
A. 联合状态空间与过程模型
取联合状态向量
\[\text{联合状态向量}=\big[\text{转子角度},\ \text{角速度},\ \text{定子电阻},\ \text{永磁磁链},\ \text{直轴电感},\ \text{交轴电感}\big]^{\top} \tag{9}\]注意此处直轴、交轴电感指基波工作点的电感（平均意义），与第 II 节的两轴增量电感通过磁饱和曲线相联系：主动感知观测器用离线磁饱和数据表约束二者的关系（第 IV-E 节）。过程模型取最简形式：
\[\text{转子角度}_{k+1}=\text{转子角度}_k+\text{采样周期}\times\text{角速度}_k+\text{角度噪声},\quad \text{角速度}_{k+1}=\text{角速度}_k+\text{速度噪声},\quad \text{参数向量}_{k+1}=\text{参数向量}_k+\text{参数噪声} \tag{10}\]参数向量即状态向量中的四个慢变分量，各噪声为相互独立的零均值高斯白噪声。状态转移矩阵与过程噪声协方差为
\[\text{状态转移矩阵}=\begin{bmatrix}1&\text{采样周期}&\mathbf 0\\ 0&1&\mathbf 0\\ \mathbf 0&\mathbf 0&\text{四阶单位阵}\end{bmatrix},\qquad \text{过程噪声协方差}=\text{对角阵}\big(\text{各分量噪声方差}\big) \tag{11}\]状态块的过程噪声较大以跟踪快变；参数块的噪声极小以体现慢变（定子电阻的噪声可按热时间常数整定）。主动感知观测器不依赖机械方程：转速作为慢变状态被估计。若机械模型可得，可替换状态转移矩阵的对应块，与本框架正交。与双扩展卡尔曼滤波不同，本文保留完整的联合协方差，状态—参数互协方差块不置零——这是「诚实记录耦合」的结构保证。
B. 基波观测模型
基波频段采用反电势模型（静止 αβ 坐标系，电感取平均电感，忽略凸极交叉项的基波影响）：
\[\text{电压}=\text{定子电阻}\times\text{电流}+\text{平均电感}\times\frac{d\,\text{电流}}{dt}+\text{反电势},\qquad \text{反电势}=\text{角速度}\times\text{永磁磁链}\times\begin{bmatrix}-\sin\big(\text{转子角度}\big)\\ \cos\big(\text{转子角度}\big)\end{bmatrix} \tag{12}\]前向欧拉离散化，得单步电流预测作为观测函数：
\[\text{预测电流}=\text{上一步电流}+\frac{\text{采样周期}}{\text{平均电感}}\times\Big(\text{上一步电压}-\text{定子电阻}\times\text{上一步电流}-\text{反电势}\big(\text{转子角度},\ \text{角速度},\ \text{永磁磁链}\big)\Big) \tag{13}\]上一步电压取指令值减去死区补偿。量测为实测电流，残差（新息）定义为
\[\text{残差}=\text{实测电流}-\text{预测电流} \tag{14}\]观测函数对各状态的雅可比（即基波观测雅可比）的显式表达见附录 A。这里指出其决定性特征：观测雅可比中位置与速度相关的行均含因子「角速度 × 永磁磁链」——当角速度趋于零时，基波模型对转子角度、角速度方向的照明趋于零。低速下「黑」的不是整个状态空间，而正是转子角度与角速度张成的子空间。传统转速阈值开关，本质上是对这一信息结构塌缩的粗糙查表近似；主动感知观测器用累积信息矩阵把它变成在线可计算的量（第 IV-A 节）。
C. 扩展卡尔曼滤波的预测—更新与数值细节
标准扩展卡尔曼滤波预测：
\[\text{先验均值}=\text{状态转移矩阵}\times\text{后验均值},\qquad \text{先验协方差}=\text{状态转移矩阵}\times\text{后验协方差}\times\text{状态转移矩阵}^{\top}+\text{过程噪声协方差} \tag{15}\]更新（增益、均值与 Joseph 形式协方差）：
\[\text{卡尔曼增益}=\text{先验协方差}\times\text{观测雅可比}^{\top}\times\big(\text{观测雅可比}\times\text{先验协方差}\times\text{观测雅可比}^{\top}+\text{基波量测噪声协方差}\big)^{-1} \tag{16}\] \[\text{后验均值}=\text{先验均值}+\text{卡尔曼增益}\times\text{残差},\qquad \text{后验协方差}=\big(\text{单位阵}-\text{卡尔曼增益}\times\text{观测雅可比}\big)\times\text{先验协方差}\times\big(\text{单位阵}-\text{卡尔曼增益}\times\text{观测雅可比}\big)^{\top}+\text{卡尔曼增益}\times\text{基波量测噪声协方差}\times\text{卡尔曼增益}^{\top} \tag{17}\]低维残差（2 维电流）更新 6 维状态看似维度不匹配，实则正是卡尔曼增益的设计意图：残差信息沿当前协方差允许的方向投影回状态空间，不可观测方向上增益趋零，滤波器不会虚假收窄。工程细节有三：
- 角度缠绕：位置更新后把估计角度归一到 (−π, π] 区间；更严格的做法是对正弦角度误差建模（误差状态扩展卡尔曼滤波）。
- 约瑟夫形式（式 17）保证联合协方差对称正定，避免简单更新形式在低量测噪声时退化。
- 约束投影（第 IV-E 节）破坏高斯性，投影后应对联合协方差做对称化处理。
D. 新息一致性检验：区分信息不足与模型失配
定义归一化新息平方检验统计量
\[\text{新息统计量}_k=\text{残差}_k^{\top}\times\text{新息协方差}_k^{-1}\times\text{残差}_k,\qquad \text{新息协方差}_k=\text{观测雅可比}\times\text{先验协方差}\times\text{观测雅可比}^{\top}+\text{基波量测噪声协方差} \tag{18}\]模型一致时，新息统计量渐近服从自由度为 2 的卡方分布。滑动窗均值持续超限说明模型与观测系统性不符——原因可能是死区补偿残差、未建模非线性或传感器故障。这一检验是第 IV-B 节三分支决策的基础：如果不确定性大而新息一致，是「看得不够」，注入实验能修；如果新息本身就不一致，「睁眼」也救不了，应当告警降级。混淆这两种情况，是「一有不确定性就无脑注入」的根子。
IV. 主动感知：触发、实验设计与代价门控
A. 可辨识性度量：带遗忘的信息累积
对线性高斯模型，每次线性量测都把一份「量测信息」加到先验精度上（量测信息 = 观测雅可比ᵀ × 量测噪声协方差⁻¹ × 观测雅可比），后验协方差即总精度的逆。定义信息矩阵（协方差的逆），批量更新的信息形式为
\[\text{信息矩阵}_k=\text{初始信息}+\sum_{i\le k}\Big(\text{观测雅可比}_i^{\top}\times\text{量测噪声协方差}^{-1}\times\text{观测雅可比}_i\Big) \tag{19}\]即每次观测对状态空间的「照明量」按「观测雅可比ᵀ × 量测噪声协方差⁻¹ × 观测雅可比」累加。无传感器驱动中参数随温度、饱和、老化漂移，历史观测对当前参数的信息会陈旧，故采用指数遗忘的累积量作为诊断量：
\[\text{累积信息矩阵}_k=\gamma\times\text{累积信息矩阵}_{k-1}+\text{观测雅可比}_k^{\top}\times\text{基波量测噪声协方差}^{-1}\times\text{观测雅可比}_k,\qquad \gamma\in(0.95,\,1) \tag{20}\]对累积信息矩阵做特征分解：特征值大（「亮」）的方向已被近期多工况观测充分约束；特征值小（「黑」）的方向是当前激励未覆盖的方向。遗忘因子 γ 的取值对应参数漂移速率：参数漂移越快，旧工况信息退场应越快（定量关系可由稳态 Riccati 方程估计，工程上按「希望多长的工况历史有效」整定）。
需要说明累积信息矩阵与滤波器联合协方差的关系：精确线性高斯且遗忘因子为 1 时二者互逆，判据冗余；引入遗忘后二者有意地不互逆——联合协方差是滤波器对当前状态的局部不确定度，累积信息矩阵是激励覆盖度的历史度量。双判据正是利用这一差异（第 IV-B 节）。
B. 触发判据与三分支决策
判据 C1（该不该看）：后验不确定度超限——
\[\text{联合协方差的最大特征值}>\text{协方差门限}\ \epsilon_P \tag{21}\]判据 C2（看了有没有用）：存在长期照明不足的方向——
\[\text{累积信息矩阵的最小特征值}<\text{信息门限}\ \epsilon_I \tag{22}\]C2 采用最小特征值而非条件数（最大特征值与最小特征值之比）：二者在最大特征值有界时等价，但最小特征值无除法、数值稳健，且物理意义直白——「某方向照明低于门限」。触发条件为 C1 且 C2：C1 单独成立可能只是过程噪声协方差设错或死区干扰吹大了联合协方差；C2 保证黑暗属于「激励可修复」的那一类。
结合新息检验，形成三分支决策：
| 条件 | 判定 | 动作 |
|---|---|---|
| C1 ∧ C2 ∧ 新息检验正常 | 信息不足 | 触发对准缺失方向的注入实验 |
| C1 ∧ 新息检验持续超限 | 模型失配 | 告警/降级，不注入 |
| 其余 | 正常巡航 | 纯基波估计 |
工程整定：触发采用施密特滞回（进入门限为协方差门限，退出门限为其一半），并设最小注入间隔（冷却时间）防止频繁切换抖动；累积信息矩阵的特征分解不必每个周期执行——两维状态块每周期监测，六维全矩阵按毫秒级周期监测即可。
C. 注入作为受控实验
触发后，注入模式对准累积信息矩阵的最小特征值方向。各方向的实验菜单及其观测方程（均出自第 II 节推导）：
| 不可辨识主方向 | 实验 | 观测行（对角度误差线性化后） |
|---|---|---|
| 转子角度（转子位置） | 估计直轴脉振注入 | 观测行 ≈ [灵敏度, 0, 0, 0, 0, 0]；灵敏度 = 注入电压幅值 × 半凸极差 ÷ (注入角频率 × 直轴增量电感 × 交轴增量电感)，见式 (8) |
| 转子角度且极性置信度低 | 正负直轴脉冲对 | 比较双极性响应幅值，极性似然比检验（第 II-D 节） |
| 直轴、交轴电感（饱和相关） | 双电流偏置点小信号高频扫描 | 对两轴增量电感灵敏的行块，经磁饱和数据表映射回直轴、交轴电感 |
| 定子电阻 | 低频/直流偏置探测 | 基波模型对定子电阻的行块（附录 A），低频下灵敏度相对提升 |
| 永磁磁链 | 依托基波段高速数据或磁链扰动 | 基波模型对永磁磁链的行块 |
注入的解调响应构成注入量测，其观测方程与基波量测并列进入同一次贝叶斯更新：
\[\text{后验协方差}=\Big(\text{先验精度}+\text{注入观测信息}\Big)^{-1},\qquad \text{注入观测信息}=\text{注入观测雅可比}^{\top}\times\text{注入量测噪声协方差}^{-1}\times\text{注入观测雅可比} \tag{23}\]用信息语言概括：注入的作用是给累积信息矩阵在缺失方向上增加秩，而不是另起一个高频观测器。注入参数的选择也由缺失方向决定：脉振/旋转注入对付位置，双极性脉冲对付极性，双偏置扫描对付电感，低频探测对付电阻——框架不强制「实验必须高频」，标题中的「高频」是当前实例而非框架的必要条件。
D. 信息增益预测与代价门控
触发不等于一定注入。注入前即可解析预测其收益：对单标量量测（观测行、标量噪声方差），由 Sherman–Morrison 公式（附录 B 给出推导）：
\[\text{注入后协方差的迹}=\text{注入前协方差的迹}-\frac{\text{方向方差}\times\text{方向方差}}{\text{方向方差}+\text{噪声方差}},\qquad \text{方向方差}=\text{观测行}\times\text{先验协方差}\times\text{观测行}^{\top} \tag{24}\]信息增益有明确的两端行为（推导与单调性见附录 B）：方向已被照亮（方向方差小）时增益按「方向方差² ÷ 噪声方差」二次趋零——看得清就不值得睁眼；方向很暗时增益趋近该方向的全部方差——一次实验几乎照亮整个方向。以转子角度方向上的脉振注入为例，增益为 灵敏度² × 角度方差² ÷ (灵敏度² × 角度方差 + 注入量测噪声方差)：角度方差已小时增益趋零，不会为注入而注入；灵敏度弱（如表贴电机）时增益同样被压低——凸极微弱的电机天然少注入。每次注入都会收窄角度方差，连续注入的收益随之二次衰减，注入行为自然稀疏。
引入代价门控：
\[\text{执行注入}\ \Longleftrightarrow\ \frac{\text{方向方差}\times\text{方向方差}}{\text{方向方差}+\text{注入量测噪声方差}}>\text{门限}\ \rho\times\text{注入代价} \tag{25}\]其中注入代价含开关损耗（正比于注入幅值与时长）、附加纹波转矩与声学噪声，按平台一次性标定；ρ 为无量纲门限。式 (25) 不是最优实验设计的完整解，而是显式承认注入有代价的最小可行门控——避免「一有不确定性就无脑睁眼」。
E. 约束投影与极性管理
约束投影：每次更新后将参数块投影回物理可行域（定子电阻位于温度先验区间、永磁磁链位于退磁曲线附近、直轴与交轴电感位于离线磁饱和数据表内），防止低维残差把参数「带飞」。
极性管理：π 歧义使转子角度后验本质上是双峰的，高斯近似只在选定分支内有效。主动感知观测器维护一个离散的极性状态及其置信度：初始上电时执行一次极性实验；运行中当极性置信度低于阈值（如深度弱磁后、永磁磁链大幅修正后）时，由 C2 在极性方向的分量触发复测。极性状态翻转属于离散事件，触发位置估计分支重置。
V. 算法汇总
每个控制周期的完整流程（伪代码为演算层短符号，映射见替换表）：
输入: 上一步估计 x̂, P, I, 极性状态 s
1 预测 x̂⁻ = F x̂; P⁻ = F P Fᵀ + Q (式 15)
2 基波更新 H_b, r_k, K; Joseph 更新 x̂, P (式 16–17)
3 信息累积 I ← γ·I + H_bᵀ R_b⁻¹ H_b (式 20)
4 新息检验 η = rᵀS⁻¹r; 滑动均值是否超 χ²(2) 界 (式 18)
5 决策
├ 新息检验持续超限 → 告警/降级, 返回
├ λmax(P) < ε_P/2 (滞回) → 清除触发, 返回
├ λmax(P) > ε_P 且 λmin(I) < ε_I 且冷却期已过 → 进入 6
└ 否则 → 返回
6 实验设计 v_min = 最小特征方向; 查实验菜单选注入模式 h_inj
7 代价门控 增益 = h_inj P² h_injᵀ/(h_inj P h_injᵀ + R_inj)
└ 增益 ≤ ρ·C_inj → 放弃注入并记录, 返回 (式 25)
8 执行注入 施加注入波形(有限时长 T_exp), 带通+同步解调得 z_inj
9 联合更新 以 (h_inj, z_inj, R_inj) 做一次(或顺序标量)更新 (式 23)
10 极性检验 若为极性实验: 更新极性置信度, 必要时翻转分支
11 约束投影 参数块投影回可行域; 对称化 P
12 返回
计算量：6 维扩展卡尔曼滤波单步约为状态维数立方的量级（6 维约 216 次乘加），2×2 状态块监测每周期执行，6×6 特征分解按低频调度——在主流微控制器（含硬件浮点）上有充裕余量；协方差可进一步用平方根形式（无迹卡尔曼滤波的平方根变体或 Cholesky 分块）保数值稳定。
VI. 与现有工作的关系
| 维度 | 固定连续高频注入 | 转速阈值高频注入 | 高频注入+扩展卡尔曼滤波组合 | 双扩展卡尔曼滤波级联 | 主动感知观测器（本文） |
|---|---|---|---|---|---|
| 注入时机 | 全程 | 转速阈值 | 前置信号源 | 前置信号源 | 后验不确定性触发 |
| 注入方向 | 固定 | 固定 | 固定 | 固定 | 对准不可辨识方向 |
| 状态—参数耦合 | 未建模 | 未建模 | 未建模 | 架构性切断互协方差 | 联合协方差显式记录 |
| 稳态注入代价 | 高（全程损耗/纹波） | 中 | 中 | 中 | 按需，增益/代价门控 |
| 不可辨识时的行为 | 干扰持续存在 | 切换盲区 | 滤波器照常输出 | 可能虚假收敛 | 保持诚实展宽；触发实验；失配时告警 |
| 失败模式定位 | 难 | 难 | 中 | 难（级联） | 三分支显式区分 |
学理脉络上，主动感知观测器处于三条线的交汇处：主动感知（Bajcsy [12]：通过行动改变传感器信息结构）、对偶控制（Feldbaum [13]：控制信号兼作探测信号）、事件触发估计（Sijs & Lazar [14]：按事件而非时钟更新）。与 2013 年「用卡尔曼滤波统一模型基与高频注入基两类无传感器观测」的工作 [16] 的本质区别在于哲学定位：那里高频注入是给定的前置信号源、滤波器是主角；这里注入是由不确定性结构驱动的内生决策变量、与推断共同设计——用形式化语言说，前者估计 \(p(\text{状态}\mid\text{观测})\)，后者估计 \(p(\text{状态}\mid\text{观测},\text{激励设计})\)，激励是被优化的量。变工况信息经遗忘信息矩阵累积以解开参数耦合的思路，与 Ljung 对扩展卡尔曼滤波作为参数估计器的渐近分析 [7] 和多模型辨识实践一致；对「不想实时估计但必须计入影响」的量只传协方差不传均值，则是 Schmidt–Kalman 考虑策略 [15] 的反向运用。
VII. 仿真与实验验证方案
本节给出验证设计与各实验的预期定性判据；定量结果表格为占位，须由真实数据填充（博客发布时同样保留占位，后续以新博文或修订填充）。
A. 对比基线
| 基线 | 代表含义 |
|---|---|
| 固定连续高频注入 | 「一直睁眼」 |
| 转速阈值开关高频注入 | 「按时刻表睁眼」 |
| 高频注入+扩展卡尔曼滤波组合 | 「组合而非统一」 |
| 双扩展卡尔曼滤波级联 | 「架构性解耦」 |
| 主动感知观测器 | 本文 |
B. 工况序列与预期判据
- 零速→低速→中速→高速：预期在零速附近 C1/C2 于 转子角度 方向触发注入，随转速上升触发自动停止——即「转速阈值」作为本判据的特例被自动涌现，而非预设。
- 稳态巡航段（中速轻载、参数无漂移）：预期主动感知观测器注入占空比显著低于固定连续高频注入，且位置误差统计不劣——验证「按需注入省代价」。
- 定子电阻温漂阶跃（模拟定子电阻突增四成）：预期新息检验先超限、C1/C2 在定子电阻相关方向触发低频探测实验，参数协方差在实验后收窄，且位置估计不被参数误差污染——验证联合协方差「不背锅」。
- 永磁磁链缓慢退磁：预期慢方向持续展宽并被周期性小实验收窄，无虚假收窄。
- 负载突加/突卸：预期角速度方向瞬态展宽、C1 短暂触发后恢复——验证滞回与冷却期抑制抖动。
- 反例实验：人为注入死区补偿残差（模型失配）而激励充分：预期新息检验超限、不触发注入而走告警分支——验证三分支决策不是「任何不确定性都无脑注入」。
C. 指标
位置均方根误差与最大值；注入占空比；参数协方差收敛曲线（重点看不可辨识窗口内是否保持展宽）；误触发率与切换抖动；参数阶跃后误差是否被错误归因于位置。
D. 结果表（占位）
| 方法 | 位置均方根误差 | 注入占空比 | 参数收敛时间 | 误触发次数 |
|---|---|---|---|---|
| 固定连续高频注入 | — | 100% | — | — |
| 转速阈值高频注入 | — | — | — | — |
| 高频注入+扩展卡尔曼滤波 | — | — | — | — |
| 双扩展卡尔曼滤波 | — | — | — | — |
| 主动感知观测器 | — | — | — | — |
VIII. 讨论与局限
- 触发阈值仍是工程难点。 协方差门限、信息门限、门限 ρ 无普适值，依赖噪声水平与应用容忍度。本文给出整定逻辑（协方差门限 对应位置精度需求折算的协方差上界；信息门限 对应可接受的最小方向照明；门限 ρ 由注入代价标定），但不声称免调参。
- 可辨识性不是算法创造的。 若基波与高频对某参数方向的敏感方向始终共线（低速下 定子电阻 与 永磁磁链 的经典耦合），任何算法都无法凭空解耦。主动感知观测器的贡献是不假装知道：后验在该方向诚实展宽，并主动设计实验去「挣」可辨识性，而非虚假收敛。
- 双高斯近似与 π 歧义。 位置后验本质双峰（模 π），高斯滤波只在选定极性分支内有效；极性管理（IV-E）是必要补丁而非优雅解。更彻底的做法是混合后验/多假设跟踪，留作后续。
- 高频不是唯一实验。 对 定子电阻 主导的方向低频探测更高效；框架是「事件触发实验设计」，不绑定高频。表贴式电机凸极微弱，位置方向的注入收益天然受限，代价门控会如实反映。
- 计算与数值稳定性。 联合协方差 6 维对主流微控制器可行；更高维度（如加死区参数、机械参数）建议平方根滤波与分块调度。累积信息矩阵 为诊断量，与 联合协方差 双轨维护，需在代码层面防止二者被误同化。
- 注入的实时性代价。 注入时长 期间基波电流纹波增大，对纹波敏感的场合需在门控代价 注入代价 中加重权重或改为静默时段注入。
IX. 结论
本文提出主动感知观测器，将高频注入从按转速开关的开环策略，转变为由联合后验不确定性与可辨识性结构驱动的受控实验。主动感知观测器 在统一贝叶斯框架中维护状态—参数联合协方差，用带遗忘的累积信息矩阵定位「黑暗方向」，以双判据加新息一致性检验实现「继续估计 / 触发注入 / 模型告警」的三分支决策，并用解析信息增益与代价门控保证注入行为稀疏而有据。该框架把「何时观测、观测什么」纳入估计问题本身，为无传感器驱动在观测不足时的主动感知提供了一个理论自洽、工程可落地的提法。
参考文献
⟨标注「待核实」的条目投稿前须补全作者与出版信息⟩
[1] P. L. Jansen, R. D. Lorenz, “Transducerless position and velocity estimation in induction and salient AC machines,” IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 31, no. 2, pp. 240–247, 1995.
[2] M. J. Corley, R. D. Lorenz, “Rotor position and velocity estimation for a salient-pole permanent magnet synchronous machine at standstill and high speeds,” IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 34, no. 4, pp. 784–789, 1998.
[3] S. Kim, J.-I. Ha, S.-K. Sul, “PWM switching frequency signal injection sensorless method in IPMSM,” IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 48, no. 5, pp. 1576–1587, 2012.
[4] G. Wang, M. Valla, J. Solsona, “Position sensorless permanent magnet synchronous machine drives — A review,” IEEE Trans. Ind. Electron., vol. 67, no. 7, pp. 5830–5842, 2020.
[5] J. Holtz, “Sensorless control of induction motor drives,” Proc. IEEE, vol. 90, no. 8, pp. 1359–1394, 2002.
[6] S. Bolognani, L. Tubiana, M. Zigliotto, “Extended Kalman filter tuning in sensorless PMSM drives,” IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 39, no. 6, pp. 1741–1747, 2003.
[7] L. Ljung, “Asymptotic behavior of the extended Kalman filter as a parameter estimator for linear systems,” IEEE Trans. Autom. Control, vol. 24, no. 1, pp. 36–50, 1979.
[8] R. E. Kalman, “A new approach to linear filtering and prediction problems,” J. Basic Eng., vol. 82, no. 1, pp. 35–45, 1960.
[9] A. H. Jazwinski, Stochastic Processes and Filtering Theory. New York: Academic Press, 1970.
[10] Y. Bar-Shalom, X. R. Li, T. Kirubarajan, Estimation with Applications to Tracking and Navigation. New York: Wiley, 2001.
[11] D. Simon, Optimal State Estimation: Kalman, H∞, and Nonlinear Approaches. Hoboken: Wiley, 2006.
[12] R. Bajcsy, “Active perception,” Proc. IEEE, vol. 76, no. 8, pp. 996–1005, 1988.
[13] A. A. Feldbaum, “Dual control theory,” Automation and Remote Control, vol. 21, pp. 874–880, 1033–1039, 1960–1961.
[14] J. Sijs, M. Lazar, “Event based state estimation with time synchronous updates,” IEEE Trans. Autom. Control, vol. 57, no. 10, pp. 2650–2655, 2012.
[15] S. F. Schmidt, “Application of state-space methods to navigation problems,” Advances in Control Systems, vol. 3, pp. 293–340, 1966.
[16] “Kalman filters unifying model-based and HF injection-based sensorless control of PMSM drives,” 2013. ⟨作者与出版信息待核实⟩
[17] “Integration of high-frequency injection methods for sensorless control of PMSMs in next-generation transportation systems: Principles, challenges, and solutions,” Renew. Sustain. Energy Rev., 2026. ⟨卷期页待核实⟩
附录 A：基波观测模型的雅可比
演算层声明：本附录按《新数学语言倡议》规则二以短符号演算，符号映射见替换表，结论已翻译回正文。
| 由式 (13)，记 \(\xi_k=u_{k-1}-R_s\,\hat i_{k-1}-e_{\mathrm{emf}}\)（电压驱动残差），则 \(h_b=\hat i_{k-1}+(\Delta t/\bar L)\,\xi_k\)。反电势 \(e_{\mathrm{emf}}=\omega\psi_f[-\sin\theta,\ \cos\theta]^{\top}\)，逐项求偏导（在 \(\hat x_{k | k-1}\) 处取值）： |
其中式 (A3) 用了 \(\bar L=(L_d+L_q)/2\) 的链式法则。注意 (A1)(A2) 中 \(\theta,\omega,\psi_f\) 三行均含因子 \(\omega\psi_f\)：零速时这三行同时塌缩，\(\theta,\omega\) 方向的可观测性完全丢失——这是第 III-B 节论断的解析根据，也是 \(R_s\) 与 \(\psi_f\) 在低速下互相比划不清（两行近似共线）的来源。前者由注入实验修复，后者由变工况数据经累积信息矩阵慢慢解开。
附录 B：标量更新的信息增益公式
演算层声明：本附录按《新数学语言倡议》规则二以短符号演算，符号映射见替换表；式 (B2) 后附全称回译。
对先验 \(\mathcal N(\hat x,P)\) 与标量量测 \(z=hx^{\top}+v,\ v\sim\mathcal N(0,\sigma^2)\)，后验精度为 \(P^{-1}+h^{\top}\sigma^{-2}h\)，故
\[P^{+}=\Big(P^{-1}+\frac{1}{\sigma^2}h^{\top}h\Big)^{-1}=P-\frac{P h^{\top}h P}{\sigma^2+hPh^{\top}} \tag{B1}\]（Sherman–Morrison 公式。）取迹：
\[\operatorname{tr}(P^{+})=\operatorname{tr}(P)-\frac{\operatorname{tr}(P h^{\top}h P)}{\sigma^2+hPh^{\top}}=\operatorname{tr}(P)-\frac{hP^2h^{\top}}{hPh^{\top}+\sigma^2} \tag{B2}\]全称（回译）：一次标量观测带来的期望协方差缩减 = 方向方差 × 方向方差 ÷ (方向方差 + 噪声方差)；方向方差 = 观测行 × 先验协方差 × 观测行ᵀ
最后一步用了迹的循环性 \(\operatorname{tr}(Ph^{\top}hP)=\operatorname{tr}(hP^2h^{\top})=hP^2h^{\top}\)（分子为标量）。增益函数 \(G(t)=t^2/(t+\sigma^2)\)（其中 \(t=hPh^{\top}\ge 0\)）单调凸增且 \(G(t)\le t\)：已照亮方向（\(t\) 小）\(G\approx t^2/\sigma^2\) 二次趋零；极暗方向（\(t\) 大）\(G\approx t-\sigma^2\)，即一次更新几乎消除该方向全部方差。这就是式 (25) 门控的解析基础，也是「连续注入收益二次衰减、不会为注入而注入」的证明。块量测（多行 \(H_{\mathrm{inj}}\)）情形用 Woodbury 恒等式展开，结论相同。
附录 C：主动感知思想脉络（博客专享，投稿时删除）
这篇论文的推理链，每一步都值得单独记下：
- 侧信道提取：高频注入的响应电流本来不是用来传位置的，位置藏在它的幅值/相位/负序分量里。「从本意不承载某信息的信道里解出该信息」——这个思路和硬件安全里的侧信道攻击同构，只是目的相反：那边偷密钥，这边控电机。
- 残差编码隐藏信息：观测器预测的电流和实测电流之差（残差/新息），编码了「模型哪里错了」。凸极使电感随位置变化，于是残差里被调制的成分就对应位置误差。最小二乘、龙伯格观测器、卡尔曼新息、锁相环、机器学习的反向传播——「残差反推」是同一思想的不同方言。
- 教材之弊：电机学教材常把「预测—残差—校正」的动态估计过程压缩成一个静态公式（「响应电流通过公式直接算出位置」），把过程编码掉了，只留下答案。
- 从双观测器到统一后验：基波观测器 + 高频观测器 + 加权融合是工程土办法；升级是用一个联合贝叶斯后验同时维护 [转子角度, 角速度, 定子电阻, 永磁磁链, 直轴电感, 交轴电感] 的全部不确定性，频段分离从「架构上的带通」变成「似然层面的信息叠加」。
- 状态与参数互相背锅：位置错了可能被当成电感错了，反之亦然。贝叶斯联合后验不消灭这种耦合，而是把耦合诚实地记进协方差非对角块；不可辨识方向后验展宽而不是虚假收敛。
- 变工况挣可辨识性：稳态下解不开的耦合，换工况后雅可比方向变了，多工况信息累积起来联合可辨识性可以恢复。带遗忘的信息矩阵 累积信息矩阵 就是「多工况照明账本」。
- 注入是主动实验设计：现有文献把高频注入当给定的信号源；主动感知观测器 把「注不注、注什么方向」当作内生决策变量。这是被动推断和主动探测的分野——观测不是给定的，是被制造的。
- 闭目养神：最终画面。平时基波模型惯性巡航（闭眼，省电省噪声）；后验协方差变大且某方向长期黑暗（困了/看不清）才主动注入（睁眼看一眼）；新息不一致说明是模型坏了而不是信息少了（眼睛坏了，睁眼也没用，靠边停车报警）；注入前先算信息增益与代价之比（睁眼值不值）。什么时候睁眼，不看时刻表，看困不困。
命名讨论过的备选还有「按需注入观测器」「警觉观测器」，最后选了 Active Perception Observer：「主动」对应事件触发，「感知」对应主动获取信息，且与认知科学里的 active perception 接轨。
修订记录
- 2026-10-31：基于初稿全面重写。补全高频信号模型推导（式 1–8）、基波观测模型与雅可比（式 12–14、附录 A）、信息增益解析预测（式 24、附录 B）、三分支决策（IV-B）、磁极极性管理（II-D、IV-E）；修正摘要过度声称；补充相关工作与参考文献；增加算法伪代码与验证方案判据。
- 2026-10-31（二）：记号体系按本站《新数学语言倡议》改造。新增「记号约定与替换表」；消除跨节重载（规则四）：T_s→Δt、遗忘因子 λ→γ、旋转矩阵 J 内联化、参数块 p→φ、反电势 e→e_emf、复电流 x→i、电压残差 g_k→ξ_k、解调增益 k_h→g_r、附录裸 R→σ²。
- 2026-10-31（三）：正文全部显示公式改写为汉语全称公式（规则一的彻底版），乘号显式写出；散文行内符号同步替换为全称词；仅保留 §II-B 演算段（式 4–5，含「令」行）与附录 A/B 的短符号，符号映射见替换表。